为什么度量张量的梯度为零？为什么这一点被称为协变导数和度量的收敛条件？ 10月26日中午12点，《张朝阳物理课》第265期上线。张朝阳，搜狐创始人、董事长兼首席执行官，博士。物理课，坐在搜狐视频直播间。他首先回顾了向量的对偶基、协变逆变等张量分析的基础知识。然后，他使用基本的张量向量表达式来解释在计算张量的梯度时需要引入协变导数。最后，他重点解释了度量张量的梯度为零。这个性质非常重要，被称为协变导数和度量适应。之前物理课复习了张量分析的基础知识，张超解释说张量的梯度算子描述了张量随着坐标点变化的变化率。这一变化有两个来源，一是张量系数贡献的变化，二是张量向量贡献的基的变化。例如，对于一阶张量，当移动到坐标dx^γ的元素之后时，其变换是通过取其中一个分量γ并去除坐标微元dx^γ，我们可以定义张量与分量坐标的协变导数。它还携带原始逆变索引β和(1,1)类型的二阶张量。关于克氏符号，需要补充三点： 1.求基向量的普通偏导数的操作需要在平坦时空中进行。如果你研究弯曲时空，你可以将其嵌入到高维直线时空中来执行此操作。 2、本课程系统中，选择向量的基作为向量的坐标基，即是b得到的向量的集合y 坐标相对于向量位置的偏导数。根据此约定，Klinefelter 符号下方的两个下标是对称的。从几何意义上讲，克兰费尔特符号下指数的对称性意味着空间是刚性的。 3.利用上下基向量的对偶性，我们可以得到Kreislav符号的另一个基向量表达式。测度的协变导数为零。接下来，张朝阳开始计算度量张量的协变导数。度量张量是二阶张量，并且下基向量的展开使得其逆分量是上基向量的内积。二阶张量的协变导数也有来自克伦伯格符号的贡献项。与一阶张量相比，Kreisberg 符号为协变导数贡献了两项，即方程右侧的第二项和第三项名词方程右边第一项是求度量张量逆变部分的常偏导数，可以利用莱布尼兹法则进一步计算。第三行使用张量测度将上基向量变换为下基向量，第四行用Kreislav符号代替基向量的表达。将计算结果代入求度量张量协变导数的公式中，我们可以看到它只是避免了第二项和第三项。相同的计算适用于度量张量的协变分量。至此，已经证明测度的协变导数等于0。作为本课的补充，我们将从内积的几何定义来看 Kreisfer 算子。您还可以比较传统学习路径中如何引入“测度的协变导数为零”。想象一下空间中的点P有两个向量A和B。它们的内积可以计算如下。现在对向量 a 和 b 沿 dx^γ 执行一个小的平移操作。平移操作可以保证向量A和B的相反分量的协变分量为零。另一方面，人们很自然地期望，平移后，向量A和B的内积保持不变。根据莱布尼兹协变导数定律，要求度量张量的协变导数为零，或者等效地，度量张量的梯度为零或以上。这从保留内积的平移的角度解释了度量张量的零梯度的几何意义。将上面的(1)+(2)-(3)转换即可得到γαβ指数的旋转，并假设Kreislav符号不灵活，可以看到下划线项相互抵消，即可得到Kr的测量尺度恩贝格符号。注意，该表达式不需要从 Kreich 符号向量的基础表达式导出。它仅由柔性条件和内积条件获得。这是本课程体系中完全不同的推导公式路径。在实际计算中，度量表达式很容易获得，也很容易计算度量的坐标偏导数，所以大多数时候人们使用这个表达式来计算Kraftwerk符号。这个系统当然是从Kraftwerk符号的基向量的表达出发，并证明由此定义的协变导数保证了度量张量的梯度为零。克氏符号基向量的表达涉及基向量对坐标的偏导数，直接在复曲线-时间上计算比较困难。但其几何意义相当明确，比较适合或初学者在学习的早期阶段建立对图像的理解。在第241节物理课上，张朝阳也推论出测度的表达与Kraftwerk符号的表达基础是等价的。有兴趣的网友可以自己去看看。据了解，《张朝阳的班级课堂》将于每周日中午12点在搜狐视频进行直播。网友可在搜狐视频APP“关注直播”中搜索“张朝阳”，观看往期直播和完整视频回放；关注“张朝阳物理课”账号，查看课程中“知识点”短视频；此外，他们还可以在搜狐新闻客户端的“搜狐科技”账号上阅读每门物理课程的详细文章。返回搜狐查看更多